วันเสาร์ที่ 14 มกราคม พ.ศ. 2555

สมบัติการแจกแจง


• สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
     1. สมบัติการสะท้อน a = a
     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
     4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
     5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
    
 สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
    1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

 สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
     1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
     2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
     3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
     4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1
        นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
      5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a 0
         นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
       6. สมบัติการแจกแจง
               a( b + c ) = ab + ac
               ( b + c )a = ba + ca



                   อ้างอิง http://www.thaigoodview.com/node/89546

ศัพท์ที่ใช้ในตารางแจกแจงความถี่



ศัพท์ที่ใช้ในตารางแจกแจงความถี่
   1. อันตรภาคชั้น (Class Interval) หรือเรียกสั้นๆ ว่า ชั้น หมายถึง ช่วงของคะแนนในแต่ละพวกที่แบ่ง
    อันตรภาคชั้นต่ำสุด หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดอยู่
    อันตรภาคชั้นสูงสุด หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงสุดอยู่
    อันตรภาคชั้นต่ำกว่า หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า
    อันตรภาคชั้นสูงกว่า หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่ามากกว่า
    
2. ความถี่ (Frequency) หมายถึง จำนวนข้อมูลที่มีอยู่ในแต่ละอันตรภาคชั้น
   3. ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution Table) หมายถึง ตารางที่เขียนเรียงลำดับข้อมูล และแสดงให้เห็นว่าแต่ละข้อมูล หรือกลุ่มข้อมูลมีความถี่เท่าใด
   4. ขอบล่าง (Lower Boundary) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้น หรือขอบล่างเท่ากับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นบวกกับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้นแล้วหารด้วย 2
   5. ขอบบน (Upper Boundary) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น หรือขอบบนเท่ากับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นบวกกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น แล้วหารด้วย 2
    จะเห็นว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นหนึ่งย่อมเท่ากับขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้นเสมอ
   6. ความกว้างของอันตรภาคชั้น (Interval) หมายถึง ผลต่างระหว่างขอบบนและขอบล่างของอันตรภาคชั้นนั้น
   7. จุดกึ่งกลางชั้น (Middle Point) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างขอบล่างและขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น นิยมใช้สัญลักษณ์






     

ที่มา : http://e-learning.snru.ac.th/els/somjit/sub.html







จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น


จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น
   
               ในกรณีที่นำเสนอข้อมูลในลักษณะตารางแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น และเราไม่ทราบค่าข้อมูลเดิม แต่เราจำเป็นต้องนำค่าข้อมูลไปคำนวณ จึงต้องหาค่าใดค่าหนึ่งเป็นตัวแทนของค่าข้อมูลในอันตรภาคชั้นดังกล่าว ซึ่งคือค่าที่เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นนั้น โดยหาได้จาก 

ตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น
ที่มา : http://e-learning.snru.ac.th/els/somjit/judkong.htm



จำนวนเฉพาะ


เลขจำนวนเฉพาะ คือเลขจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1 โดยตัวเลขนี้ไม่มีตัวเลขใดมาหารได้ลงตัว นอกจากตัวมันเอง และ หนึ่ง
                 เลขจำนวนใด ๆ ที่เป็น จำนวนเต็ม ที่มีค่ามากกว่า 1 สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็นผลคูณของตัวเลขจำนวนเฉพาะเสมอ
           ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง. จำนวนประกอบ คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวก นอกเหนือจาก 1 และตัวมันเอง ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย
  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113...


สมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ
  • ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p หาร ab ลงตัวแล้ว p หาร a ลงตัว หรือ p หาร b ลงตัว ประพจน์นี้พิสูจน์โดยยุคลิด และมีชื่อเรียกว่า บทตั้งของยุคลิด ใช้ในการพิสูจน์เรื่องการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว
  • ริง (ดูที่เลขคณิตมอดุลาร์) Z/nZ เป็นฟิลด์ ก็ต่อเมื่อ n เป็นจำนวนเฉพาะ
  • ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว ap a หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์)
  • จำนวนเต็ม p > 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p 1)! + 1 หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทของวิลสัน). บทกลับ, จำนวนเต็ม n > 4 เป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ (n 1)! หารด้วย n ลงตัว
  • ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว จะมีจำนวนเฉพาะ p ที่ n < p < 2n (สัจพจน์ของเบอร์แทรนด์)
  • สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 2 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 4n ± 1
  • สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 3 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 6n ± 1

ที่มา : http://globalwarming.panyathai.or.th/wiki/index.php/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%89%E0%B8%9E%E0%B8%B2%

ความหมายของสถิติ


ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล   หมายถึง  ข้อเท็จจริงของเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่เราสนใจจะศึกษา   ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้
- จำนวนคนที่เป็นโรคหัวใจในแต่ละเดือน
- ปริมาณการส่งออกข้าวของประเทศไทยในปีนี้เพิ่มขึ้นจากปีที่แล้ว
การจำแนกข้อมูล
1.ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล
  แบ่งเป็น  2   ประเภท
1.1   ข้อมูลเชิงปริมาณ   คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง
1.2   ข้อมูลเชิงคุณภาพ   คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้   แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้  เช่น  เพศของสมาชิกในครอบครัว   ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้   ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ

2.   ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม
2.1
  ข้อมูลปฐมภูมิ  
คือ   ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง
2.1.1   การสำมะโน  คือ   การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา
2.1.2   การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง  คือ   การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษา
    ในทางปฏิบัติ   ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ  นิยมปฏิบัติอยู่  5   วิธี  คือ
   1.   การสัมภาษณ์  นิยมใช้กันมาก  เพราะจะได้คำตอบทันที   นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้   แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์   และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง
   2.   การแจกแบบสอบถาม   วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก  สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม   แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ  เช่น  ต้องใช้ในเฉพาะผที่มีการศึกษา  มีไปรษณีย์ไปถึง   คำถามต้องชัดเจน  อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ   จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ   หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง
   3. การสอบถามทางโทรศัพท์  เป็นวิธีที่ง่าย   เสียค่าใช้จ่ายน้อย  ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ   ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน   ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น
  
4. การสังเกต   เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้   ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน   ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้สังเกต   เช่น  ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ  เช่น  บริการรถโดยสาร  การบริการสหกรณ์   ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ  เป็นต้น   วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ
   5.   การทดลอง   เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง  ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ   ทำซ้ำๆ
2.2   ข้อมูลทุติยภูมิ   คือ   ข้อมูลที่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูล  หรคือแหล่งที่มาโดยตรง   แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว

3.   วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลทุติยภูมิ
แหล่งที่มาของข้อมูลทุติยภูมิที่สำคัญมีอยู่  2   แหล่ง  คือ
1.   รายงานต่างๆของหน่วยราชการและองค์การของรัฐบาล เช่น   ทะเบียนประวัติบุคลากร  ประวัติคนไข้  ทะเบียนนักเรียนนักศึกษา  เป็นต้น
2.   รายงานและบทความจากหนังสือ  หรือรายงานจากหน่วยงานเอกชน   ซึ่งจะมีการพิมพ์เผยแพร่เฉพาะในส่วนของข้อมูลที่เผยแพร่ได้ในรูปของรายงานต่างๆ



ที่มา : http://e-learning.snru.ac.th/els/somjit/index.html

ขอบบนและขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้น


ขอบบนและขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้น
 จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น ถ้ามีค่าข้อมูลเป็น 64.8 เราจะต้องมีอันตรภาคชั้นที่ครอบคลุมค่านี้ ดังนั้นเพื่อให้อันตรภาคชั้นครอบคลุมค่าข้อมูลได้หมดทุกค่า แต่ละอันตรภาคชั้นต้องขยายออกไปข้างละครึ่งหนึ่ง










เรียก 58.5 ว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 1 หรือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 2
เรียก 64.5 ว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 2 หรือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 3
ดังนั้น อันตรภาคชั้น 53 – 58 จะครอบคลุมค่าข้อมูลตั้งแต่ 52.5 – 58
             อันตรภาคชั้น 59 – 64 จะครอบคลุมค่าข้อมูลตั้งแต่ 58.5 – 64.5

ที่มา : http://e-learning.snru.ac.th/els/somjit/kobbon.htm

วันอังคารที่ 10 มกราคม พ.ศ. 2555

การสร้างตารางแจกแจงความถี่


การสร้างตารางแจกแจงความถี่
    ควรทำเป็นขั้นตอนดังนี้
   1. หาพิสัย (Range) โดย พิสัย = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด
    2. ถ้าโจทย์กำหนดจำนวนอันตรภาคชั้นมาให้ เราต้องคำนวณหาความกว้างของแต่ละ อันตรภาคชั้น โดยใช้หลักเกณฑ์ดังนี้ 
    ถ้า I เป็นทศนิยม ให้ปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มเสมอ
    ถ้าโจทย์กำหนดความกว้างของอันตรภาคชั้นมาให้ เราสามารถหาจำนวนของอันตรภาคชั้น โดยใช้หลักเกณฑ์ได้ดังนี้
   
  ถ้าโจทย์กำหนดจุดกึ่งกลางมาให้ เราสามารถหาความกว้างของอันตรภาคชั้นได้ดังนี้
    ความกว้างของอันตรภาคชั้น = ผลต่างของจุดกึ่งกลางของชั้นที่อยู่ติดกัน
   3. เขียนอันตรภาคชั้นเรียงตามลำดับ แล้วดูว่าค่าจากการสังเกตแต่ละค่าของข้อมูลอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ก็ให้ขีด “ | ” ลงในอันตรภาคชั้นไปเรื่อยๆ จนครบทุกค่าจากการสังเกตของข้อมูล
   4. นับจำนวนขีดในแต่ละอันตรภาคชั้นและสรุปออกมาเป็นจำนวน ซึ่งจำนวนดังกล่าวคือความถี่ (f)
  ตัวอย่าง จากข้อมูลต่อไปนี้ จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ โดยให้มีอันตรภาคชั้นจำนวน 8 ชั้น
74 68 73 62 78 65 98 75 83 69
76 64 75 70 91 86 78 58 54 65
80 85 80 94 56 68 66 77 53 86
                 1.  หาพิสัย  =  ค่ามากที่สุด - ค่าน้อยที่สุด
                                             =   98-53
                                             =   45
               2. หาความกว้างของอันตรภาคชั้น หรือจำนวนชั้น จากสูตร 

3. เขียนอันตรภาคชั้นเรียงตามลำดับ โดยให้ค่าที่น้อยที่สุดอยู่ในชั้นที่ 1 และค่าที่มากที่สุดอยู่ในชั้นสุดท้าย ( ชั้นสูงสุด )
4. ดูว่าค่าของข้อมูลแต่ละค่าอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ให้บันทึกในช่องรอยขีด
5. นับจำนวนรอยขีดในแต่ละอันตรภาคชั้น ใส่ในช่องความถี่
    จากข้อมูลข้างต้น ได้ตารางแจกแจงความถี่ดังนี้ ( จำนวน 8 ชั้น )
อันตรภาคชั้น
รอยขีด
ความถี่
53 – 58
59 – 64
65 – 70
71 – 76
77 – 82
83 – 88
89 – 94
95 - 100
 
4
2
7
5
5
4
2
1
รวม
 
30
   
 จากตารางข้างต้น
เรียก 53 ว่า ค่าน้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 1
                 เรียก 58 ว่า ค่ามากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 1
                 เรียก 59 ว่า ค่าน้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 2
                 เรียก 64 ว่า ค่ามากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 2

ที่มา : http://e-learning.snru.ac.th/els/somjit/talang.htm